Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Schritt 2.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosekans stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Schritt 2.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (\frac{π}{2}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

Schritt 2.1.3.3

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\csc (x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $- \csc (x) \cot (x)$ und $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Schritt 2.3.5.2

Stelle die Faktoren von $- \csc (x) \cot (x)$ um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cot (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Schritt 2.3.6

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x)}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot (x) \csc (x)}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\csc (x)$ und $\csc^{2} (x)$ .

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\cot (x) \csc (x)$ heraus.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.2.1

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc^{2} (x)$ heraus.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x)}$

Schritt 2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x)}$

Schritt 2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Schritt 3.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosekans stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2})}{\csc (\frac{π}{2})}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\csc (\frac{π}{2})}$

Schritt 5.2

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1}$

Schritt 5.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$0$