Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \frac{π}{2}} \frac{\cos (8 x)}{2 x - \sin (\cos (x))}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (8 x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} 8 x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Schritt 3

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to - \frac{π}{2}} \sin (\cos (x))}$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - lim_{x \to - \frac{π}{2}} \sin (\cos (x))}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (x))}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- \frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$\frac{\cos (8 \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Schritt 9.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{\cos (2 (4) \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Schritt 9.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (2 \cdot 4 \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Schritt 9.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (4 (- π))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\cos (- 4 π)}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Schritt 9.1.3

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{\cos (0)}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Schritt 9.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$\frac{1}{2 \frac{- π}{2} - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Schritt 9.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \frac{- π}{2} - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Schritt 9.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Schritt 9.2.2

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (\frac{3 π}{2}))}$

Schritt 9.2.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (\frac{π}{2}))}$

Schritt 9.2.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{1}{- π - \sin (0)}$

Schritt 9.2.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{- π - 0}$

Schritt 9.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{- π + 0}$

Schritt 9.2.7

Addiere $- π$ und $0$ .

$\frac{1}{- π}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 9.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{- π}$

Schritt 9.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{π}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{π}$

Dezimalform:

$- 0.31830988 \dots$