Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - 1}{x + \frac{π}{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π}{2}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $\frac{π}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ .

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$ mit $\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}$ .

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$

Schritt 11.1.2

Kombinieren.

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (\frac{π}{2} + \frac{π}{2})}$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Schritt 11.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 11.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}$ .

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Schritt 11.3.1.1

Faktorisiere $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}$ aus $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ heraus.

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} (2) \frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Schritt 11.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 11.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Schritt 11.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Schritt 11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Schritt 11.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Schritt 11.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + 2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2}}$

Schritt 11.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + 2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2}}$

Schritt 11.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Schritt 11.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{1} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Schritt 11.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{2 + 1 \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Schritt 11.4.3

Multipliziere $1 \cdot 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 11.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Schritt 11.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Schritt 11.4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Schritt 11.4.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Schritt 11.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.5.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Schritt 11.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Schritt 11.5.3

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{0}{π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Schritt 11.5.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{0}{π + \sqrt{1} π}$

Schritt 11.5.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{0}{π + 1 π}$

Schritt 11.5.6

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{0}{π + π}$

Schritt 11.5.7

Addiere $π$ und $π$ .

$\frac{0}{2 π}$

Schritt 11.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 11.6.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 π}$

Schritt 11.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 (π)}$

Schritt 11.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0}{2 π}$

Schritt 11.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{π}$

Schritt 11.7

Dividiere $0$ durch $π$ .

$0$