Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - 8 \cos (x)}{2 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - 8 \cos (x)}{x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - 8 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} 8 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} 8 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 5

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 \cos (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} ((1 - 8 \cos (\frac{π}{2})) \frac{2}{π})$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} ((1 - 8 \cdot 0) \frac{2}{π})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} ((1 + 0) \frac{2}{π})$

Schritt 8.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (1 \frac{2}{π})$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\frac{2}{π}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Schritt 8.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{π}$

Dezimalform:

$0.31830988 \dots$