Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} - x}}$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x \cdot x - x}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot - 1}}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x (x - 1)}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = - \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x - 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x - 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x - 1)}{x \cdot x}}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x - 1)}{x \cdot x}}}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x - 1}{x}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x - 1}{x}}}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x - 1}{x}}}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x - 1}{x}}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{2 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x - 1}{x}}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x - 1}{x}}}$

Schritt 7.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{2 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x - 1}{x}}}$

Schritt 8

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$\frac{2 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Schritt 9.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{1}}}$

Schritt 9.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{2 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Schritt 9.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{2 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Schritt 9.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{2 + 0}{- \sqrt{\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Schritt 10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{2 + 0}{- \sqrt{\frac{1 - 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{2 + 0}{- \sqrt{\frac{1 - 0}{1}}}$

Schritt 11.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.2.1

Dividiere $1 - 0$ durch $1$ .

$\frac{2 + 0}{- \sqrt{1 - 0}}$

Schritt 11.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2}{- \sqrt{1 - 0}}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{2}{- \sqrt{1 + 0}}$

Schritt 11.2.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2}{- \sqrt{1}}$

Schritt 11.2.3.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{2}{- 1 \cdot 1}$

Schritt 11.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2}{- 1}$

Schritt 11.2.5

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$- 2$