Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{x}}}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{x}}}{1 + \sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{x}}}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2.3.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{x}}}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}$

Schritt 2.2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{x}}}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}$

Schritt 2.2.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{x}}}{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1 - \sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1 - \sqrt{0}}{1 + lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Schritt 4.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1 - \sqrt{0}}{1 + \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{0}}{1 + \sqrt{0}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{1 - \sqrt{0^{2}}}{1 + \sqrt{0}}$

Schritt 6.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1 - 0}{1 + \sqrt{0}}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 + \sqrt{0}}$

Schritt 6.1.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1 + \sqrt{0}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{1}{1 + \sqrt{0^{2}}}$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{1 + 0}$

Schritt 6.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 6.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$