Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{x}{2}} \tan (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{x}{2}$ annähert.

$lim_{x \to \frac{x}{2}} \tan (x) \cdot lim_{x \to \frac{x}{2}} \ln (\sin (x))$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{x}{2}} \ln (\sin (x))$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot \ln (lim_{x \to \frac{x}{2}} \sin (x))$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot \ln (\sin (lim_{x \to \frac{x}{2}} x))$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{x}{2}$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{x}{2}$ für $x$ .

$\tan (\frac{x}{2}) \cdot \ln (\sin (lim_{x \to \frac{x}{2}} x))$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{x}{2}$ für $x$ .

$\tan (\frac{x}{2}) \cdot \ln (\sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe $\tan (\frac{x}{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})} \cdot \ln (\sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ und $\ln (\sin (\frac{x}{2}))$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2}) \ln (\sin (\frac{x}{2}))}{\cos (\frac{x}{2})}$

Schritt 6.3

Separiere Brüche.

$\frac{\ln (\sin (\frac{x}{2}))}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Schritt 6.4

Wandle von $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ nach $\tan (\frac{x}{2})$ um.

$\frac{\ln (\sin (\frac{x}{2}))}{1} \tan (\frac{x}{2})$

Schritt 6.5

Dividiere $\ln (\sin (\frac{x}{2}))$ durch $1$ .

$\ln (\sin (\frac{x}{2})) \tan (\frac{x}{2})$