Analysis Beispiele

$lim_{x \to \sqrt{2}} (x^{2} + 3) (x^{2} - 1)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\sqrt{2}$ annähert.

$lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + 3 \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\sqrt{2}$ annähert.

$(lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\sqrt{2}$ annähert.

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\sqrt{2}$ annähert.

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot (lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - lim_{x \to \sqrt{2}} 1)$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \sqrt{2}} 1)$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\sqrt{2}$ annähert.

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\sqrt{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\sqrt{2}$ für $x$ .

$({\sqrt{2}}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\sqrt{2}$ für $x$ .

$({\sqrt{2}}^{2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$(2^{\frac{2}{2}} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2^{\frac{2}{2}} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(2^{1} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.1.5

Berechne den Exponenten.

$(2 + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.2

Addiere $2$ und $3$ .

$5 \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 \cdot ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$5 \cdot (2^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot (2^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \cdot (2^{1} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$5 \cdot (2 - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 \cdot (2 - 1)$

Schritt 9.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$