Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{2 x - \sqrt{4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{2 \sqrt{x} - x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x - \sqrt{4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Schritt 6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Schritt 8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - lim_{x \to 8} x}$

Schritt 11

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 lim_{x \to 8} \sqrt{x} - lim_{x \to 8} x}$

Schritt 12

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Schritt 13.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Schritt 13.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Schritt 13.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - lim_{x \to 8} x}$

Schritt 13.6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{16 - \sqrt{4 \cdot 64 - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 14.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 2 \sqrt{4 (2)}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 2 (2 \sqrt{2})}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14.1.7

Subtrahiere $8$ von $256$ .

$\frac{16 - \sqrt{248 + 4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14.1.8

Schreibe $248 + 4 \sqrt{2}$ als $2^{2} (62 + \sqrt{2})$ um.

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Schritt 14.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $248$ heraus.

$\frac{16 - \sqrt{4 (62) + 4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14.1.8.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{16 - \sqrt{4 (62) + 4 (\sqrt{2})}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14.1.8.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (62) + 4 (\sqrt{2})$ heraus.

$\frac{16 - \sqrt{4 (62 + \sqrt{2})}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14.1.8.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{16 - \sqrt{2^{2} (62 + \sqrt{2})}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{16 - (2 \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 14.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{4 (2)} - 8}$

Schritt 14.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 8}$

Schritt 14.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 (2 \sqrt{2}) - 8}$

Schritt 14.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{4 \sqrt{2} - 8}$

Schritt 14.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}$ und $4 \sqrt{2} - 8$ .

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Schritt 14.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 (8) - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{4 \sqrt{2} - 8}$

Schritt 14.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}$ heraus.

$\frac{2 (8) + 2 (- \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{4 \sqrt{2} - 8}$

Schritt 14.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (8) + 2 (- \sqrt{62 + \sqrt{2}})$ heraus.

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{4 \sqrt{2} - 8}$

Schritt 14.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 (2 \sqrt{2}) - 8}$

Schritt 14.3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 (2 \sqrt{2}) + 2 \cdot - 4}$

Schritt 14.3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 \sqrt{2}) + 2 (- 4)$ heraus.

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 (2 \sqrt{2} - 4)}$

Schritt 14.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 (2 \sqrt{2} - 4)}$

Schritt 14.3.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - 4}$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $\frac{8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - 4}$ mit $\frac{2 \sqrt{2} + 4}{2 \sqrt{2} + 4}$ .

$\frac{8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - 4} \cdot \frac{2 \sqrt{2} + 4}{2 \sqrt{2} + 4}$

Schritt 14.5

Mutltipliziere $\frac{8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - 4}$ mit $\frac{2 \sqrt{2} + 4}{2 \sqrt{2} + 4}$ .

$\frac{(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (2 \sqrt{2} + 4)}{(2 \sqrt{2} - 4) (2 \sqrt{2} + 4)}$

Schritt 14.6

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (2 \sqrt{2} + 4)}{4 {\sqrt{2}}^{2} + 8 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} - 16}$

Schritt 14.7

Vereinfache.

$\frac{(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (2 \sqrt{2} + 4)}{- 8}$

Schritt 14.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} + 4$ und $- 8$ .

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Schritt 14.8.1

Faktorisiere $2$ aus $(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (2 \sqrt{2} + 4)$ heraus.

$\frac{2 ((8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2))}{- 8}$

Schritt 14.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 ((8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2))}{2 (- 4)}$

Schritt 14.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2))}{2 \cdot - 4}$

Schritt 14.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2)}{- 4}$

Schritt 14.9

Multipliziere $(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 14.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (\sqrt{2} + 2) - \sqrt{62 + \sqrt{2}} (\sqrt{2} + 2)}{- 4}$

Schritt 14.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 \sqrt{2} + 8 \cdot 2 - \sqrt{62 + \sqrt{2}} (\sqrt{2} + 2)}{- 4}$

Schritt 14.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 \sqrt{2} + 8 \cdot 2 - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \sqrt{2} - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \cdot 2}{- 4}$

Schritt 14.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.10.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \sqrt{2} - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \cdot 2}{- 4}$

Schritt 14.10.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{2 (62 + \sqrt{2})} - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \cdot 2}{- 4}$

Schritt 14.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{2 (62 + \sqrt{2})} - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{- 4}$

Schritt 14.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{2 (62 + \sqrt{2})} - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{4}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{2 (62 + \sqrt{2})} - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{4}$

Dezimalform:

$- 0.03132183 \dots$