Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{e^{x}})$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{x}{e^{x}})$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} e^{x}})$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{e^{lim_{x \to 1} x}})$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\ln (\frac{1}{e^{lim_{x \to 1} x}})$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\ln (\frac{1}{e^{1}})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Bringe $e^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (e^{- 1})$

Schritt 5.2

Zerlege $\ln (e^{- 1})$ durch Herausziehen von $- 1$ aus dem Logarithmus.

$- \ln (e)$

Schritt 5.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$