Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n + 1} - \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{2 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $n^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Schritt 11

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Schritt 12

Ziehe den Exponenten $2$ von $n^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Schritt 14

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 1}$

Schritt 15

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Schritt 16

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 16.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Schritt 16.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Schritt 16.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Schritt 16.4

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 17

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.1.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 17.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{128 + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 17.1.1.3

Addiere $128$ und $1$ .

$\frac{129}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 17.1.2

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{129}{9} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 17.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $129$ und $9$ .

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Schritt 17.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $129$ heraus.

$\frac{3 (43)}{9} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 17.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot 43}{3 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 17.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 43}{3 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 17.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{43}{3} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 17.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.1.4.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{43}{3} - \frac{2 \cdot 64 + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 17.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{43}{3} - \frac{128 + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 17.1.4.3

Addiere $128$ und $1$ .

$\frac{43}{3} - \frac{129}{8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 17.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 17.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{43}{3} - \frac{129}{8 - 1}$

Schritt 17.1.5.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\frac{43}{3} - \frac{129}{7}$

Schritt 17.2

Um $\frac{43}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{43}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{129}{7}$

Schritt 17.3

Um $- \frac{129}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{43}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{129}{7} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 17.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $21$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 17.4.1

Mutltipliziere $\frac{43}{3}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{43 \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{129}{7} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 17.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{43 \cdot 7}{21} - \frac{129}{7} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 17.4.3

Mutltipliziere $\frac{129}{7}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{43 \cdot 7}{21} - \frac{129 \cdot 3}{7 \cdot 3}$

Schritt 17.4.4

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{43 \cdot 7}{21} - \frac{129 \cdot 3}{21}$

Schritt 17.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{43 \cdot 7 - 129 \cdot 3}{21}$

Schritt 17.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.6.1

Mutltipliziere $43$ mit $7$ .

$\frac{301 - 129 \cdot 3}{21}$

Schritt 17.6.2

Mutltipliziere $- 129$ mit $3$ .

$\frac{301 - 387}{21}$

Schritt 17.6.3

Subtrahiere $387$ von $301$ .

$\frac{- 86}{21}$

Schritt 17.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{86}{21}$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{86}{21}$

Dezimalform:

$- 4.\overline{095238}$