Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 2$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{3}{2}$ annähert.

$lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Schritt 2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Schritt 6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{3}{2}$ annähert.

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{3}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{3}{2}$ für $x$ .

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{3}{2}$ für $x$ .

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{3}{2}$ für $x$ .

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$2 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{3}$ heraus.

$2 \frac{3^{3}}{2 \cdot 2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 9.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{3^{3}}{2 \cdot 2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 9.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{3}}{2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 9.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{27}{2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 9.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 9.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\frac{27}{4} - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 9.1.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 \frac{9}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 9.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 (\frac{9}{4}) - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 9.1.8

Multipliziere $- 3 (\frac{9}{4})$ .

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Schritt 9.1.8.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{9}{4}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 9}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 9.1.8.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 9.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Schritt 9.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 (- 2) \frac{3}{2} + 2$

Schritt 9.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{3}{2} + 2$

Schritt 9.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 2 \cdot 3 + 2$

Schritt 9.1.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 6 + 2$

Schritt 9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 6 + 2 + \frac{27 - 27}{4}$

Schritt 9.3

Subtrahiere $27$ von $27$ .

$- 6 + 2 + \frac{0}{4}$

Schritt 9.4

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 9.4.1

Schreibe $- 6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 6}{1} + 2 + \frac{0}{4}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2 + \frac{0}{4}$

Schritt 9.4.3

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + 2 + \frac{0}{4}$

Schritt 9.4.4

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} + \frac{0}{4}$

Schritt 9.4.5

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

Schritt 9.4.6

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

Schritt 9.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 6 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 9.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.6.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$\frac{- 24 + 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 9.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{- 24 + 8}{4}$

Schritt 9.7

Addiere $- 24$ und $8$ .

$\frac{- 16}{4}$

Schritt 9.8

Dividiere $- 16$ durch $4$ .

$- 4$