Analysis Beispiele

$lim_{x \to (- 8)} \frac{4 + 6 e^{2 x}}{5 - 9 e^{3 x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $(- 8)$ annähert.

$\frac{lim_{x \to (- 8)} 4 + 6 e^{2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $(- 8)$ annähert.

$\frac{lim_{x \to (- 8)} 4 + lim_{x \to (- 8)} 6 e^{2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $(- 8)$ annähert.

$\frac{4 + lim_{x \to (- 8)} 6 e^{2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 + 6 lim_{x \to (- 8)} e^{2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4 + 6 e^{lim_{x \to (- 8)} 2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $(- 8)$ annähert.

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - lim_{x \to (- 8)} 9 e^{3 x}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $(- 8)$ annähert.

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{5 - lim_{x \to (- 8)} 9 e^{3 x}}$

Schritt 9

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{5 - 9 lim_{x \to (- 8)} e^{3 x}}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{5 - 9 e^{lim_{x \to (- 8)} 3 x}}$

Schritt 11

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{5 - 9 e^{3 lim_{x \to (- 8)} x}}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $(- 8)$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $(- 8)$ für $x$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 (- 8)}}{5 - 9 e^{3 lim_{x \to (- 8)} x}}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $(- 8)$ für $x$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 (- 8)}}{5 - 9 e^{3 (- 8)}}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{4 + 6 e^{- 16}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Schritt 13.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 + 6 \frac{1}{e^{16}}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Schritt 13.1.3

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{e^{16}}$ .

$\frac{4 + \frac{6}{e^{16}}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Schritt 13.1.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{16}}{e^{16}}$ .

$\frac{\frac{4 e^{16}}{e^{16}} + \frac{6}{e^{16}}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Schritt 13.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 - 9 e^{- 24}}$

Schritt 13.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 - 9 \frac{1}{e^{24}}}$

Schritt 13.2.3

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{e^{24}}$ .

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 + \frac{- 9}{e^{24}}}$

Schritt 13.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 - \frac{9}{e^{24}}}$

Schritt 13.2.5

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{24}}{e^{24}}$ .

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{\frac{5 e^{24}}{e^{24}} - \frac{9}{e^{24}}}$

Schritt 13.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{\frac{5 e^{24} - 9}{e^{24}}}$

Schritt 13.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}} \cdot \frac{e^{24}}{5 e^{24} - 9}$

Schritt 13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{16}$ .

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Schritt 13.4.1

Faktorisiere $e^{16}$ aus $e^{24}$ heraus.

$\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}} \cdot \frac{e^{16} e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Schritt 13.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}} \cdot \frac{e^{16} e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Schritt 13.4.3

Forme den Ausdruck um.

$(4 e^{16} + 6) \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Schritt 13.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 e^{16} \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Schritt 13.6

Multipliziere $4 e^{16} \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$ .

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Schritt 13.6.1

Kombiniere $\frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$ und $4$ .

$\frac{e^{8} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} e^{16} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Schritt 13.6.2

Kombiniere $\frac{e^{8} \cdot 4}{5 e^{24} - 9}$ und $e^{16}$ .

$\frac{e^{8} \cdot 4 e^{16}}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Schritt 13.6.3

Multipliziere $e^{8}$ mit $e^{16}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.6.3.1

Bewege $e^{16}$ .

$\frac{e^{16} e^{8} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Schritt 13.6.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{16 + 8} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Schritt 13.6.3.3

Addiere $16$ und $8$ .

$\frac{e^{24} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Schritt 13.7

Kombiniere $6$ und $\frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$ .

$\frac{e^{24} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} + \frac{6 e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Schritt 13.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{24} \cdot 4 + 6 e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Schritt 13.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{24}$ .

$\frac{4 e^{24} + 6 e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4 e^{24} + 6 e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Dezimalform:

$0.80000013 \dots$