Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 5}{\sqrt{4 x^{2} + 2}}$

Schritt 1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} + 2$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 5}{\sqrt{2 (2 x^{2}) + 2}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 5}{\sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 (1)}}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2}) + 2 (1)$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 5}{\sqrt{2 (2 x^{2} + 1)}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = - \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{- 5}{x}}{- \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{5}{x}}{- \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 6 - \frac{5}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 6 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{6 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 3.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 5.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{x^{2}}}}$

Schritt 6

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Schritt 7.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{1}}}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{- \sqrt{2 \frac{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Schritt 7.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{- \sqrt{2 \frac{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Schritt 7.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{- \sqrt{2 \frac{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{- \sqrt{2 \frac{2 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{- \sqrt{2 \frac{2 + 0}{1}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.2.1

Dividiere $2 + 0$ durch $1$ .

$\frac{6 - 5 \cdot 0}{- \sqrt{2 (2 + 0)}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$\frac{6 + 0}{- \sqrt{2 (2 + 0)}}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{6}{- \sqrt{2 (2 + 0)}}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.3.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{6}{- \sqrt{2 \cdot 2}}$

Schritt 9.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{6}{- \sqrt{4}}$

Schritt 9.2.3.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{6}{- \sqrt{2^{2}}}$

Schritt 9.2.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{6}{- 1 \cdot 2}$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{6}{- 2}$

Schritt 9.2.5

Dividiere $6$ durch $- 2$ .

$- 3$