Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} 4 x - \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 1

Multipliziere, um den Zähler zu rationalisieren.

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 x - \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}) (4 x + \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6})}{4 x + \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}}$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler unter Verwendung der FOIL-Methode aus.

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{2} + 4 x \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6} - 4 x \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6} - {\sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}}^{2}}{4 x + \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 6}{4 x + \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}}$

Schritt 3

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{- 6}{x}}{\frac{4 x}{x} + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{- 6}{x}}{\frac{4 x}{x} + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4.1.1.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{- 6}{x}}{\frac{4 x}{x} + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{\frac{4 x}{x} + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $16$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{x \cdot - 5}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{- 5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 4.6

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 6.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{lim_{x \to \infty} 16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 6.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{lim_{x \to \infty} 16 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 6.5

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 6.6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$\frac{5 + 0}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0}}$

Schritt 10.1.2

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{5}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$\frac{5}{4 + \sqrt{16 + 0 + 6 \cdot 0}}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{5}{4 + \sqrt{16 + 0 + 0}}$

Schritt 10.2.3

Addiere $16 + 0$ und $0$ .

$\frac{5}{4 + \sqrt{16 + 0}}$

Schritt 10.2.4

Addiere $16$ und $0$ .

$\frac{5}{4 + \sqrt{16}}$

Schritt 10.2.5

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{5}{4 + \sqrt{4^{2}}}$

Schritt 10.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5}{4 + 4}$

Schritt 10.2.7

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{5}{8}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{8}$

Dezimalform:

$0.625$