Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 x + 1}{6 x^{2} + 3 x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x + 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x}$

Schritt 6

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x}$

Schritt 8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{2}{6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 3 (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{6 \frac{1}{2^{2}} + 3 (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2}{6 (\frac{1}{4}) + 3 (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2}{2 (3) \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.2.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3 (\frac{1}{2}) + 3 (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.2.5

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\frac{3}{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.2.6

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}}$

Schritt 10.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{\frac{3 + 3}{2}}$

Schritt 10.2.8

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{2}{\frac{6}{2}}$

Schritt 10.2.9

Dividiere $6$ durch $2$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{6}$