Analysis Beispiele

$lim_{t \to 0} \cos (\frac{π}{\sqrt{19 - 3 \sec (2 t)}})$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos (lim_{t \to 0} \frac{π}{\sqrt{19 - 3 \sec (2 t)}})$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\cos (π lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{19 - 3 \sec (2 t)}})$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\cos (π \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sqrt{19 - 3 \sec (2 t)}})$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $0$ annähert.

$\cos (π \frac{1}{lim_{t \to 0} \sqrt{19 - 3 \sec (2 t)}})$

Schritt 1.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 19 - 3 \sec (2 t)}})$

Schritt 1.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 19 - lim_{t \to 0} 3 \sec (2 t)}})$

Schritt 1.7

Berechne den Grenzwert von $19$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $0$ annähert.

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - lim_{t \to 0} 3 \sec (2 t)}})$

Schritt 1.8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - (3 lim_{t \to 0} \sec (2 t))}})$

Schritt 1.9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - (3 \sec (lim_{t \to 0} 2 t))}})$

Schritt 1.10

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - (3 \sec (2 lim_{t \to 0} t))}})$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - (3 \sec (2 \cdot 0))}})$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - 3 \sec (2 \cdot 0)}})$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - 3 \sec (0)}})$

Schritt 3.1.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - 3 \cdot 1}})$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - 3}})$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $3$ von $19$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{16}})$

Schritt 3.1.6

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{4^{2}}})$

Schritt 3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (π \frac{1}{4})$

Schritt 3.2

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{4}$ .

$\cos (\frac{π}{4})$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$0.70710678 \dots$