Analysis Beispiele

$lim_{t \to 0^{-}} (\sin^{2} (\frac{1}{t})) \cdot 3^{\frac{1}{t}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$lim_{t \to 0^{-}} \sin^{2} (\frac{1}{t}) \cdot lim_{t \to 0^{-}} 3^{\frac{1}{t}}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (\frac{1}{t})$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{t \to 0^{-}} \sin (\frac{1}{t}))}^{2} \cdot lim_{t \to 0^{-}} 3^{\frac{1}{t}}$

Schritt 2

Da der Exponent $\frac{1}{t}$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $3^{\frac{1}{t}}$ $0$ an.

${(lim_{t \to 0^{-}} \sin (\frac{1}{t}))}^{2} \cdot 0$

Schritt 3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\sin (\frac{1}{t})$ zeigt, wenn sich $t$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} t & \sin (\frac{1}{t}) \\ - 0.1 & 0.54402111 \\ - 0.01 & 0.50636564 \\ - 0.001 & - 0.99388865 \\ - 0.0001 & - 0.99388865 \end{array}$

Schritt 4

Mit Annäherung der $t$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $- 0.994$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\sin (\frac{1}{t})$ für $t$ gegen $0$ gleich $- 0.994$ .

${(- 0.994)}^{2} \cdot 0$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Potenziere $- 0.994$ mit $2$ .

$0.988036 \cdot 0$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $0.988036$ mit $0$ .

$0$