Analysis Beispiele

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} {\tan (x)}^{\tan (2 x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\tan (x)}^{\tan (2 x)}$ als $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$ um.

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})$ durch Herausziehen von $\tan (2 x)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Schritt 2

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$ durch Einsetzen von $(\frac{π}{4})$ für $x$ .

$e^{\tan (2 (\frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.2

Multipliziere $2$ mit jedem Element der Matrix.

$e^{\tan ((2 \frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 (2)})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 \cdot 2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\tan ((\frac{π}{2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.4

Entferne die Klammern.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 (2)}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 \cdot 2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\tan (\frac{π}{2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{2})$ ist $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

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Schritt 3.5.1

Teile $\frac{π}{2}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$e^{\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3}) \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$e^{\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.6

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7

Vereinfache $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

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Schritt 3.5.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.7.1.1

Multipliziere $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

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Schritt 3.5.7.1.1.1

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.1.1.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.1.1.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.1.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.5.7.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.7.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.7.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.7.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.5.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 3.6

Da $e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 4

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$ durch Einsetzen von $(\frac{π}{4})$ für $x$ .

$e^{\tan (2 (\frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.2

Multipliziere $2$ mit jedem Element der Matrix.

$e^{\tan ((2 \frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 (2)})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 \cdot 2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\tan ((\frac{π}{2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.4

Entferne die Klammern.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 (2)}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 \cdot 2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\tan (\frac{π}{2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{2})$ ist $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

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Schritt 5.5.1

Teile $\frac{π}{2}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$e^{\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3}) \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$e^{\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.6

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7

Vereinfache $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

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Schritt 5.5.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.7.1.1

Multipliziere $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

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Schritt 5.5.7.1.1.1

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.1.1.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.1.1.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.1.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.5.7.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.7.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.7.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.7.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.5.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Schritt 5.6

Da $e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 6

Wenn einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht existiert, dann existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$