Analysis Beispiele

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} {(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)}$ als $e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})}$ um.

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})$ durch Herausziehen von $\cot (4 x)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Schritt 2

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$ durch Einsetzen von $(\frac{π}{4})$ für $x$ .

$e^{\cot (4 (\frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.2

Multipliziere $4$ mit jedem Element der Matrix.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\cot ((π)) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.4

Schreibe $\cot ((π))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{\frac{\cos ((π))}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.5

Entferne die Klammern.

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\cos (4 \frac{π}{4})}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.6

Entferne die Klammern.

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (4 \frac{π}{4})} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$e^{\frac{- \cos (0)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.7.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{\frac{- 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.8.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$e^{\frac{- 1}{\sin (0)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.8.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.8.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 3.9

Da $e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 4

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$ durch Einsetzen von $(\frac{π}{4})$ für $x$ .

$e^{\cot (4 (\frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.2

Multipliziere $4$ mit jedem Element der Matrix.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\cot ((π)) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.4

Schreibe $\cot ((π))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{\frac{\cos ((π))}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.5

Entferne die Klammern.

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Schritt 5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\cos (4 \frac{π}{4})}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.6

Entferne die Klammern.

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Schritt 5.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (4 \frac{π}{4})} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.6.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.1

$e^{\frac{- \cos (0)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.7.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{\frac{- 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.8.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$e^{\frac{- 1}{\sin (0)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.8.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.8.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Schritt 5.9

Da $e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 6

Wenn einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht existiert, dann existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$