Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 9} \sqrt[6]{7 x + 1} - 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 9} \sqrt[6]{7 x + 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[6]{lim_{x \to 9} 7 x + 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$\frac{\sqrt[6]{lim_{x \to 9} 7 x + lim_{x \to 9} 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Schritt 1.4

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt[6]{7 lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$\frac{\sqrt[6]{7 lim_{x \to 9} x + 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$\frac{\sqrt[6]{7 lim_{x \to 9} x + 1} - 1 \cdot 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x \cdot 9$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$ mit $\frac{x \cdot 9}{x \cdot 9}$ .

$\frac{x \cdot 9}{x \cdot 9} \cdot \frac{\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2)}{x \cdot 9 (\frac{1}{x} - \frac{1}{9})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{x \cdot 9 \frac{1}{x} + x \cdot 9 (- \frac{1}{9})}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 9$ heraus.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{x (9) \frac{1}{x} + x \cdot 9 (- \frac{1}{9})}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{x \cdot 9 \frac{1}{x} + x \cdot 9 (- \frac{1}{9})}$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot 9 (- \frac{1}{9})}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{9}$ in den Zähler.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot 9 \frac{- 1}{9}}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $9$ aus $x \cdot 9$ heraus.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + 9 \cdot x \frac{- 1}{9}}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + 9 \cdot x \frac{- 1}{9}}$

Schritt 3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $x \cdot 9$ aus $x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $x \cdot 9$ aus $x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1}$ heraus.

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1}) + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $x \cdot 9$ aus $x \cdot 9 (\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1}) + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{63 + 1} - 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{63 + 1} - 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1

Addiere $63$ und $1$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{64} - 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3.2

Schreibe $64$ als $2^{6}$ um.

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{2^{6}} - 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{x \cdot 9 (2 - 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Schritt 3.4.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{x \cdot 9 \cdot 0}{9 + x \cdot - 1}$

Schritt 3.4.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.4.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{0 \cdot 9}{9 + x \cdot - 1}$

Schritt 3.4.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $9$ .

$\frac{0}{9 + x \cdot - 1}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot x}$

Schritt 3.5.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{0}{9 - x}$

Schritt 3.6

Dividiere $0$ durch $9 - x$ .

$0$