Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{2} - 1^{2}}}$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)} {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}$ mit $1$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 2}}$

Schritt 2.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{3}}$

Schritt 2.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{3}$ als $(x + 1) (x - 1)$ um.

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Schritt 2.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}$ als ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 2.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 2.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}}$

Schritt 2.3.5.5

Vereinfache.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$ um.

$\frac{8 \sqrt[3]{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$\frac{8 \sqrt[3]{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}}{(x + 1) (x - 1)}$