Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \sin (- x)}{x \sin (3 x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \sin (- x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (- x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (- x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (- x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Schritt 1.1.2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} - x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Schritt 1.1.2.5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (- lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (4 \cdot 0) \cdot \sin (- lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Schritt 1.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Schritt 1.1.2.7.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Schritt 1.1.2.7.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Schritt 1.1.2.7.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Schritt 1.1.3.5.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Schritt 1.1.3.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \sin (- x)}{x \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x) \sin (- x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x) \sin (- x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (4 x)$ und $g (x) = \sin (- x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (- x)] + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [- x]) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [- x]) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) (\cos (- x) \frac{d}{d x} [- x]) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \cos (- x) (- \frac{d}{d x} [x]) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \cos (- x) (- 1 \cdot 1) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \cos (- x) \cdot - 1 + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sin (4 x) \cos (- x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot (\sin (4 x) \cos (- x)) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.8

Schreibe $- 1 \sin (4 x)$ als $- \sin (4 x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 1.3.9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.9.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.9.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) \cos (4 x) (4 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.12

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) \cos (4 x) \cdot 4}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.13

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sin (- x) \cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + 4 \cdot (\sin (- x) \cos (4 x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.14

Vereinfache.

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Schritt 1.3.14.1

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (- x) \sin (4 x) + 4 \cos (4 x) \sin (- x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.14.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.14.2.1

Da $\cos (- x)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- x)$ als $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) + 4 \cos (4 x) \sin (- x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.14.2.2

Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) + 4 \cos (4 x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.14.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Schritt 1.3.15

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.16

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 1.3.16.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.16.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.16.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.17

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.19

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (3 x) \cdot 3) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.20

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (3 \cdot \cos (3 x)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.21

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) \cdot 1}$

Schritt 1.3.22

Mutltipliziere $\sin (3 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)}$

Schritt 1.3.23

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} - \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \sin (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.9

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- \cos (0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- \cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- \cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.11.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- \cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.12.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.12.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.12.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{- 1 \cdot \sin (0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.12.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 0 - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.12.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.12.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0 - 4 \cos (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.12.1.7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.12.1.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{0 - 4 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.12.1.9

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.12.1.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.2.12.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.3.5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Schritt 2.1.3.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Schritt 2.1.3.7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Schritt 2.1.3.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.9.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Schritt 2.1.3.9.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Schritt 2.1.3.9.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (3 \cdot 0)}$

Schritt 2.1.3.9.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{0 + \sin (3 \cdot 0)}$

Schritt 2.1.3.9.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

Schritt 2.1.3.9.1.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 2.1.3.9.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.9.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.10

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x)]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x) \sin (4 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) (4 \cdot 1)) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.3.6

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) (4 \cdot 1)) + \sin (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) \cdot 4) + \sin (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.3.8

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (4 \cdot \cos (4 x)) + \sin (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.3.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \cos (4 x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.4.2

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.4.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.3.4.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.4.4.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.4.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.4.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (4 x) (4 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.4.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (4 x) \cdot 4))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.4.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x)) - (\sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x)) - (\sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x)) - 4 (\sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 (\cos (x) \cos (4 x)) - (\sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x)) - 4 (\sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \cos (x) \cos (4 x) + 1 (\sin (4 x) (\sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x)) - 4 (\sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.5.3.3

Mutltipliziere $\sin (4 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \sin (x) - 4 (\cos (4 x) \cos (x)) - 4 (\sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.5.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \sin (x) - 4 \cos (4 x) \cos (x) + 16 (\sin (x) (\sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.5.3.5

Stelle die Faktoren von $- 4 \cos (4 x) \cos (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \sin (x) - 4 \cos (x) \cos (4 x) + 16 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.5.3.6

Subtrahiere $4 \cos (x) \cos (4 x)$ von $- 4 \cos (x) \cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \sin (x) + 16 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.5.3.7

Stelle die Faktoren von $\sin (4 x) \sin (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (x) \sin (4 x) + 16 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.5.3.8

Addiere $\sin (x) \sin (4 x)$ und $16 \sin (x) \sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

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Schritt 2.3.7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x \cos (3 x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.7.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.7.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.3.7.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.7.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.7.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.7.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.7.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.7.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.7.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) \cdot 3) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.7.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.7.9

Mutltipliziere $\cos (3 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 2.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Schritt 2.3.8.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.3.8.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 2.3.8.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 2.3.8.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 2.3.8.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 2.3.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) (3 \cdot 1)}$

Schritt 2.3.8.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3}$

Schritt 2.3.8.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + 3 \cos (3 x)}$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x))) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

Schritt 2.3.9.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.9.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{- 9 (x (\sin (3 x))) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

Schritt 2.3.9.2.2

Addiere $3 \cos (3 x)$ und $3 \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} - 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 0} 8 \cos (x) \cos (4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.7

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.8

Ziehe den Term $17$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.11

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.12

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.13

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 9 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.14

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.15

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.16

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.17

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Schritt 3.18

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Schritt 3.19

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Schritt 3.20

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.7

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{- 8 \cdot 1 \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{- 8 \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{- 8 \cdot \cos (0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{- 8 \cdot 1 + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{- 8 + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{- 8 + 17 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.7

Mutltipliziere $17$ mit $0$ .

$\frac{- 8 + 0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{- 8 + 0 \cdot \sin (0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.9

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{- 8 + 0 \cdot 0}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.10

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{- 8 + 0}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.11

Addiere $- 8$ und $0$ .

$\frac{- 8}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$\frac{- 8}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{- 8}{0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{- 8}{0 \cdot 0 + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{- 8}{0 + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{- 8}{0 + 6 \cos (0)}$

Schritt 5.2.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{- 8}{0 + 6 \cdot 1}$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{- 8}{0 + 6}$

Schritt 5.2.8

Addiere $0$ und $6$ .

$\frac{- 8}{6}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $6$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 (- 4)}{6}$

Schritt 5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4}{3}$

Schritt 5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{4}{3}$

Dezimalform:

$- 1.\overline{3}$