Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x)}{\tan (x)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1.3

Wandle von $\frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cos (2 x) \cot (x)$ um.

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cos (2 x) \cot (x)$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2} \cdot π$ annähert.

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} 2 x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\cos (2 lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Schritt 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\cos (2 lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{1}{2} \cdot π$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2} \cdot π$ für $x$ .

$\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot π)) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2} \cdot π$ für $x$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{1}{2} \cdot π)$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Schritt 7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (π) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Schritt 7.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \cos (0) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Schritt 7.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Schritt 7.5

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 1 \cdot 0$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$