Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 9} 9 x \sqrt[6]{6 x + 10} - 2}{9 - x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 9} 9 x \sqrt[6]{6 x + 10} - lim_{x \to 9} 2}{9 - x}$

Schritt 2

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{9 lim_{x \to 9} x \sqrt[6]{6 x + 10} - lim_{x \to 9} 2}{9 - x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$\frac{9 lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \sqrt[6]{6 x + 10} - lim_{x \to 9} 2}{9 - x}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{9 lim_{x \to 9} x \cdot \sqrt[6]{lim_{x \to 9} 6 x + 10} - lim_{x \to 9} 2}{9 - x}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$\frac{9 lim_{x \to 9} x \cdot \sqrt[6]{lim_{x \to 9} 6 x + lim_{x \to 9} 10} - lim_{x \to 9} 2}{9 - x}$

Schritt 6

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{9 lim_{x \to 9} x \cdot \sqrt[6]{6 lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} 10} - lim_{x \to 9} 2}{9 - x}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$\frac{9 lim_{x \to 9} x \cdot \sqrt[6]{6 lim_{x \to 9} x + 10} - lim_{x \to 9} 2}{9 - x}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$\frac{9 lim_{x \to 9} x \cdot \sqrt[6]{6 lim_{x \to 9} x + 10} - 1 \cdot 2}{9 - x}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $9$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$\frac{9 \cdot 9 \cdot \sqrt[6]{6 lim_{x \to 9} x + 10} - 1 \cdot 2}{9 - x}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$\frac{9 \cdot 9 \cdot \sqrt[6]{6 \cdot 9 + 10} - 1 \cdot 2}{9 - x}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{81 \cdot \sqrt[6]{6 \cdot 9 + 10} - 1 \cdot 2}{9 - x}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$\frac{81 \cdot \sqrt[6]{54 + 10} - 1 \cdot 2}{9 - x}$

Schritt 10.3

Addiere $54$ und $10$ .

$\frac{81 \cdot \sqrt[6]{64} - 1 \cdot 2}{9 - x}$

Schritt 10.4

Schreibe $64$ als $2^{6}$ um.

$\frac{81 \cdot \sqrt[6]{2^{6}} - 1 \cdot 2}{9 - x}$

Schritt 10.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{81 \cdot 2 - 1 \cdot 2}{9 - x}$

Schritt 10.6

Mutltipliziere $81$ mit $2$ .

$\frac{162 - 1 \cdot 2}{9 - x}$

Schritt 10.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{162 - 2}{9 - x}$

Schritt 10.8

Subtrahiere $2$ von $162$ .

$\frac{160}{9 - x}$