Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (m x)}{1 - \cos (n x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (m x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (m x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (m x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} m x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

Schritt 1.1.2.1.4

Ziehe den Term $m$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - \cos (m lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos (m \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $m$ mit $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (n x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (n x)}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (n x)}$

Schritt 1.1.3.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} n x)}$

Schritt 1.1.3.1.4

Ziehe den Term $n$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{1 - \cos (n lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (n \cdot 0)}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Mutltipliziere $n$ mit $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (m x)}{1 - \cos (n x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (m x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (m x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (m x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (m x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (m x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (m x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (m x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (m x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (m x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = m x$ .

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Schritt 1.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $m x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [m x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.4.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [m x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $m x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (m x) \frac{d}{d x} [m x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.4.3

Da $m$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $m x$ nach $x$ gleich $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (m x) (m \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (m x) (m \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.4.5

Mutltipliziere $m$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (m x) m)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 (\sin (m x) m)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.4.7

Mutltipliziere $\sin (m x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (m x) m}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $0$ und $\sin (m x) m$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (m x) m}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.5.2

Stelle die Faktoren von $\sin (m x) m$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (n x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (n x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (n x)]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (n x)]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (n x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (n x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (n x)]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = n x$ .

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Schritt 1.3.8.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $n x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [n x])}$

Schritt 1.3.8.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [n x])}$

Schritt 1.3.8.2.3

Ersetze alle $u$ durch $n x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 - (- \sin (n x) \frac{d}{d x} [n x])}$

Schritt 1.3.8.3

Da $n$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $n x$ nach $x$ gleich $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 - (- \sin (n x) (n \frac{d}{d x} [x]))}$

Schritt 1.3.8.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 - (- \sin (n x) (n \cdot 1))}$

Schritt 1.3.8.5

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 - (- \sin (n x) n)}$

Schritt 1.3.8.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 + 1 (\sin (n x) n)}$

Schritt 1.3.8.7

Mutltipliziere $\sin (n x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{0 + \sin (n x) n}$

Schritt 1.3.9

Vereinfache.

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Schritt 1.3.9.1

Addiere $0$ und $\sin (n x) n$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{\sin (n x) n}$

Schritt 1.3.9.2

Stelle die Faktoren von $\sin (n x) n$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{m \sin (m x)}{n \sin (n x)}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{m}{n}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\sin (m x)}{\sin (n x)}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (m x)}{lim_{x \to 0} \sin (n x)}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} m x)}{lim_{x \to 0} \sin (n x)}$

Schritt 3.1.2.1.2

Ziehe den Term $m$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{\sin (m lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (n x)}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{\sin (m \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (n x)}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $m$ mit $0$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (n x)}$

Schritt 3.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (n x)}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} n x)}$

Schritt 3.1.3.1.2

Ziehe den Term $n$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{\sin (n lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{\sin (n \cdot 0)}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.3.1

Mutltipliziere $n$ mit $0$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 3.1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{m}{n} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (m x)}{\sin (n x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (m x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (m x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = m x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $m x$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [m x]}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [m x]}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $m x$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\cos (m x) \frac{d}{d x} [m x]}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

Schritt 3.3.3

Da $m$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $m x$ nach $x$ gleich $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\cos (m x) m \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\cos (m x) m \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $m$ mit $1$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\cos (m x) m}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

Schritt 3.3.6

Stelle die Faktoren von $\cos (m x) m$ um.

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{\frac{d}{d x} [\sin (n x)]}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = n x$ .

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Schritt 3.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $n x$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [n x]}$

Schritt 3.3.7.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [n x]}$

Schritt 3.3.7.3

Ersetze alle $u$ durch $n x$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{\cos (n x) \frac{d}{d x} [n x]}$

Schritt 3.3.8

Da $n$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $n x$ nach $x$ gleich $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{\cos (n x) n \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{\cos (n x) n \cdot 1}$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{\cos (n x) n}$

Schritt 3.3.11

Stelle die Faktoren von $\cos (n x) n$ um.

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{m \cos (m x)}{n \cos (n x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $\frac{m}{n}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} lim_{x \to 0} \frac{\cos (m x)}{\cos (n x)}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \frac{lim_{x \to 0} \cos (m x)}{lim_{x \to 0} \cos (n x)}$

Schritt 4.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \frac{\cos (lim_{x \to 0} m x)}{lim_{x \to 0} \cos (n x)}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $m$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \frac{\cos (m lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (n x)}$

Schritt 4.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \frac{\cos (m lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} n x)}$

Schritt 4.6

Ziehe den Term $n$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \frac{\cos (m lim_{x \to 0} x)}{\cos (n lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Multipliziere $\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n}$ .

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $\frac{m}{n}$ mit $\frac{m}{n}$ .

$\frac{m \cdot m}{n \cdot n} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $m$ mit $1$ .

$\frac{m^{1} m}{n \cdot n} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

Schritt 6.1.3

Potenziere $m$ mit $1$ .

$\frac{m^{1} m^{1}}{n \cdot n} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

Schritt 6.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{m^{1 + 1}}{n \cdot n} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{m^{2}}{n \cdot n} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

Schritt 6.1.6

Potenziere $n$ mit $1$ .

$\frac{m^{2}}{n^{1} n} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

Schritt 6.1.7

Potenziere $n$ mit $1$ .

$\frac{m^{2}}{n^{1} n^{1}} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

Schritt 6.1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{m^{2}}{n^{1 + 1}} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

Schritt 6.1.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{m^{2}}{n^{2}} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

Schritt 6.2

Kombinieren.

$\frac{m^{2} \cos (m \cdot 0)}{n^{2} \cos (n \cdot 0)}$

Schritt 6.3

Separiere Brüche.

$\frac{m^{2}}{n^{2}} \cdot \frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$

Schritt 6.4

Schreibe $\frac{\cos (m \cdot 0)}{\cos (n \cdot 0)}$ als ein Produkt um.

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\cos (m \cdot 0) \frac{1}{\cos (n \cdot 0)})$

Schritt 6.5

Schreibe $\cos (m \cdot 0)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\frac{\cos (m \cdot 0)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (n \cdot 0)})$

Schritt 6.6

Vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Dividiere $\cos (m \cdot 0)$ durch $1$ .

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\cos (m \cdot 0) \frac{1}{\cos (n \cdot 0)})$

Schritt 6.6.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (n \cdot 0)}$ nach $\sec (n \cdot 0)$ um.

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\cos (m \cdot 0) \sec (n \cdot 0))$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $m$ mit $0$ .

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\cos (0) \sec (n \cdot 0))$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $n$ mit $0$ .

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\cos (0) \sec (0))$

Schritt 6.9

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.9.1

Stelle $\cos (0)$ und $\sec (0)$ um.

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\sec (0) \cos (0))$

Schritt 6.9.2

Schreibe $\frac{m^{2}}{n^{2}} (\cos (0) \sec (0))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{m^{2}}{n^{2}} (\frac{1}{\cos (0)} \cos (0))$

Schritt 6.9.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{m^{2}}{n^{2}} \cdot 1$

Schritt 6.10

Mutltipliziere $\frac{m^{2}}{n^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{m^{2}}{n^{2}}$