Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{\sin^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 1.3.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 1.3.5.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\sin (x) (2 \cos (x))}$

Schritt 1.3.5.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1.3.5.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\sin (2 x)}$

Schritt 2

Da die Funktion von links gegen $- \infty$ geht und von rechts gegen $\infty$ geht, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$