Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (2 x)}{\sec (2 x)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (2 x)}{\frac{1}{\cos (2 x)}}$

Schritt 1.2

Schreibe $\tan (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\frac{1}{\cos (2 x)}}$

Schritt 1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (2 x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cos (2 x)$

Schritt 1.4

Schreibe $\cos (2 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\cos (2 x)}{1}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\cos (2 x)}{1}$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\sin (2 \frac{π}{4})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (\frac{π}{2})$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$1$