Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{\frac{y^{2} - 3^{2}}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 3$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Schritt 2.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 y$ heraus.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 (y) + 3}}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe $7$ um als $1$ plus $6$

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}}$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}}$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + y + 6 y + 3}}$

Schritt 2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}}$

Schritt 2.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}}$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 y + 1$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$

Schritt 2.5

Schreibe $\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$ als $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ um.

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$

Schritt 2.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1} \sqrt{2 y + 1}}$

Schritt 2.7.2

Potenziere $\sqrt{2 y + 1}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} \sqrt{2 y + 1}}$

Schritt 2.7.3

Potenziere $\sqrt{2 y + 1}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} {\sqrt{2 y + 1}}^{1}}$

Schritt 2.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{2}}$

Schritt 2.7.6

Schreibe ${\sqrt{2 y + 1}}^{2}$ als $2 y + 1$ um.

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Schritt 2.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 y + 1}$ als ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{1}}$

Schritt 2.7.6.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{2 y + 1}$

Schritt 2.8

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(y - 3) (2 y + 1)}}{2 y + 1}$