Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 4 \sin (x)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to 8} \sin (x)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{4 \sin (lim_{x \to 8} x)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4 \sin (8)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Berechne $\sin (8)$ .

$\frac{4 \cdot 0.1391731}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{4 \cdot 0.1391731}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Schritt 3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{4 \cdot 0.1391731}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{4 \cdot 0.1391731}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $4$ mit $0.1391731$ .

$\frac{0.5566924}{{(x + 1)}^{2}}$