Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 8 \sqrt{x} + x^{- 9}}{2 x - 8}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 8 \sqrt{x} + lim_{x \to 8} x^{- 9}}{2 x - 8}$

Schritt 2

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 lim_{x \to 8} \sqrt{x} + lim_{x \to 8} x^{- 9}}{2 x - 8}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{8 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x^{- 9}}{2 x - 8}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $- 9$ von $x^{- 9}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{8 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 9}}{2 x - 8}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 \sqrt{8} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 9}}{2 x - 8}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 \sqrt{8} + 8^{- 9}}{2 x - 8}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{8 \sqrt{4 (2)} + 8^{- 9}}{2 x - 8}$

Schritt 6.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{8 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 8^{- 9}}{2 x - 8}$

Schritt 6.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{8 (2 \sqrt{2}) + 8^{- 9}}{2 x - 8}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16 \sqrt{2} + 8^{- 9}}{2 x - 8}$

Schritt 6.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} + \frac{1}{8^{9}}}{2 x - 8}$

Schritt 6.1.5

Potenziere $8$ mit $9$ .

$\frac{16 \sqrt{2} + \frac{1}{134217728}}{2 x - 8}$

Schritt 6.1.6

Um $16 \sqrt{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{134217728}{134217728}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \cdot \frac{134217728}{134217728} + \frac{1}{134217728}}{2 x - 8}$

Schritt 6.1.7

Kombiniere $16 \sqrt{2}$ und $\frac{134217728}{134217728}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{2} \cdot 134217728}{134217728} + \frac{1}{134217728}}{2 x - 8}$

Schritt 6.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{16 \sqrt{2} \cdot 134217728 + 1}{134217728}}{2 x - 8}$

Schritt 6.1.9

Mutltipliziere $134217728$ mit $16$ .

$\frac{\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728}}{2 x - 8}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 8$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728}}{2 (x) - 8}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728}}{2 (x - 4)}$

Schritt 6.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728} \cdot \frac{1}{2 (x - 4)}$

Schritt 6.4

Multipliziere $\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728} \cdot \frac{1}{2 (x - 4)}$ .

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728}$ mit $\frac{1}{2 (x - 4)}$ .

$\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728 (2 (x - 4))}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $134217728$ .

$\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{268435456 (x - 4)}$