Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} r}{r^{2} - 30 \sqrt[3]{r}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $r$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{r}{r^{2} - 30 \sqrt[3]{r}}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{r}$ als $r^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{r}{r^{2} - 30 r^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $r^{\frac{1}{3}}$ aus $r^{2} - 30 r^{\frac{1}{3}}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $r^{\frac{1}{3}}$ aus $r^{2}$ heraus.

$\frac{r}{r^{\frac{1}{3}} r^{\frac{5}{3}} - 30 r^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $r^{\frac{1}{3}}$ aus $- 30 r^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{r}{r^{\frac{1}{3}} r^{\frac{5}{3}} + r^{\frac{1}{3}} \cdot - 30}$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $r^{\frac{1}{3}}$ aus $r^{\frac{1}{3}} r^{\frac{5}{3}} + r^{\frac{1}{3}} \cdot - 30$ heraus.

$\frac{r}{r^{\frac{1}{3}} (r^{\frac{5}{3}} - 30)}$

Schritt 2.2

Bringe $r^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{r \cdot r^{- \frac{1}{3}}}{r^{\frac{5}{3}} - 30}$

Schritt 2.3

Multipliziere $r$ mit $r^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $r$ mit $r^{- \frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Potenziere $r$ mit $1$ .

$\frac{r^{1} r^{- \frac{1}{3}}}{r^{\frac{5}{3}} - 30}$

Schritt 2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{r^{1 - \frac{1}{3}}}{r^{\frac{5}{3}} - 30}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{r^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{r^{\frac{5}{3}} - 30}$

Schritt 2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{r^{\frac{3 - 1}{3}}}{r^{\frac{5}{3}} - 30}$

Schritt 2.3.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{r^{\frac{2}{3}}}{r^{\frac{5}{3}} - 30}$