Analysis Beispiele

$\frac{lim_{y \to 8} 2 - y}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{y \to 8} 2 - lim_{y \to 8} y}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $y$ sich $8$ annähert.

$\frac{2 - lim_{y \to 8} y}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $8$ für $y$ .

$\frac{2 - 8}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $8$ von $2$ .

$\frac{- 6}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}$ .

$- (\frac{6}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}})$

Schritt 3.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}$ .

$- \frac{6 \sqrt{7 + 6 y^{2}}}{\sqrt{7 + 6 y^{2}} \sqrt{7 + 6 y^{2}}}$

Schritt 3.2.4.2

Potenziere $\sqrt{7 + 6 y^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{6 \sqrt{7 + 6 y^{2}}}{{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}^{1} \sqrt{7 + 6 y^{2}}}$

Schritt 3.2.4.3

Potenziere $\sqrt{7 + 6 y^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{6 \sqrt{7 + 6 y^{2}}}{{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}^{1} {\sqrt{7 + 6 y^{2}}}^{1}}$

Schritt 3.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6 \sqrt{7 + 6 y^{2}}}{{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{6 \sqrt{7 + 6 y^{2}}}{{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}^{2}}$

Schritt 3.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{7 + 6 y^{2}}}^{2}$ als $7 + 6 y^{2}$ um.

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Schritt 3.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 + 6 y^{2}}$ als ${(7 + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{6 \sqrt{7 + 6 y^{2}}}{{({(7 + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 \sqrt{7 + 6 y^{2}}}{{(7 + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{6 \sqrt{7 + 6 y^{2}}}{{(7 + 6 y^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{6 \sqrt{7 + 6 y^{2}}}{{(7 + 6 y^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{6 \sqrt{7 + 6 y^{2}}}{{(7 + 6 y^{2})}^{1}}$

Schritt 3.2.4.6.5

Vereinfache.

$- \frac{6 \sqrt{7 + 6 y^{2}}}{7 + 6 y^{2}}$