Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to p} p x - p^{2}}{2 x - 2 p}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $p$ annähert.

$\frac{lim_{x \to p} p x - lim_{x \to p} p^{2}}{2 x - 2 p}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $p$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{p lim_{x \to p} x - lim_{x \to p} p^{2}}{2 x - 2 p}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $p^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $p$ annähert.

$\frac{p lim_{x \to p} x - p^{2}}{2 x - 2 p}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $p$ für $x$ .

$\frac{p \cdot p - p^{2}}{2 x - 2 p}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $p^{2}$ aus $p \cdot p - p^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $p^{2}$ aus $p \cdot p$ heraus.

$\frac{p^{2} (p^{- 1} p) - p^{2}}{2 x - 2 p}$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $p^{2}$ aus $- p^{2}$ heraus.

$\frac{p^{2} (p^{- 1} p) + p^{2} \cdot - 1}{2 x - 2 p}$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $p^{2}$ aus $p^{2} (p^{- 1} p) + p^{2} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{p^{2} (p^{- 1} p - 1)}{2 x - 2 p}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $p^{- 1}$ mit $p$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $p^{- 1}$ mit $p$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $p$ mit $1$ .

$\frac{p^{2} (p^{- 1} p^{1} - 1)}{2 x - 2 p}$

Schritt 3.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{p^{2} (p^{- 1 + 1} - 1)}{2 x - 2 p}$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{p^{2} (p^{0} - 1)}{2 x - 2 p}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache $p^{0}$ .

$\frac{p^{2} (1 - 1)}{2 x - 2 p}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{p^{2} \cdot 0}{2 x - 2 p}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2 p$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{p^{2} \cdot 0}{2 (x) - 2 p}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 p$ heraus.

$\frac{p^{2} \cdot 0}{2 (x) + 2 (- p)}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- p)$ heraus.

$\frac{p^{2} \cdot 0}{2 (x - p)}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $p^{2}$ mit $0$ .

$\frac{0}{2 (x - p)}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 (x - p)}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0}{2 (x - p)}$

Schritt 3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{x - p}$

Schritt 3.5

Dividiere $0$ durch $x - p$ .

$0$