Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to π} \sin (x + π)}{\cos (x - \frac{π}{2})}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to π} x + π)}{\cos (x - \frac{π}{2})}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to π} x + lim_{x \to π} π)}{\cos (x - \frac{π}{2})}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to π} x + π)}{\cos (x - \frac{π}{2})}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{\sin (π + π)}{\cos (x - \frac{π}{2})}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{\sin (π + π)}{\cos (x - \frac{π}{2})}$ als ein Produkt um.

$\sin (π + π) \frac{1}{\cos (x - \frac{π}{2})}$

Schritt 3.2

Schreibe $\sin (π + π)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\sin (π + π)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x - \frac{π}{2})}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $\sin (π + π)$ durch $1$ .

$\sin (π + π) \frac{1}{\cos (x - \frac{π}{2})}$

Schritt 3.3.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x - \frac{π}{2})}$ nach $\sec (x - \frac{π}{2})$ um.

$\sin (π + π) \sec (x - \frac{π}{2})$

Schritt 3.4

Addiere $π$ und $π$ .

$\sin (2 π) \sec (x - \frac{π}{2})$

Schritt 3.5

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\sin (0) \sec (x - \frac{π}{2})$

Schritt 3.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 \sec (x - \frac{π}{2})$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

$0$