Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 9} t^{2} + 3 t - 108}{t^{2} - 81}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $t^{2} + 3 t - 108$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$\frac{t^{2} + 3 t - 108}{t^{2} - 81}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $t^{2} + 3 t - 108$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 108$ und deren Summe $3$ ist.

$- 9, 12$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(t - 9) (t + 12)}{t^{2} - 81}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{(t - 9) (t + 12)}{t^{2} - 9^{2}}$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t$ und $b = 9$ .

$\frac{(t - 9) (t + 12)}{(t + 9) (t - 9)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t - 9$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(t - 9) (t + 12)}{(t + 9) (t - 9)}$

Schritt 2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t + 12}{t + 9}$