Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8 x} 5 x^{5} + 2 x^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8 x$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8 x} 5 x^{5} + lim_{x \to 8 x} 2 x^{3} + lim_{x \to 8 x} 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to 8 x} x^{5} + lim_{x \to 8 x} 2 x^{3} + lim_{x \to 8 x} 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $5$ von $x^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8 x} x)}^{5} + lim_{x \to 8 x} 2 x^{3} + lim_{x \to 8 x} 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8 x} x)}^{5} + 2 lim_{x \to 8 x} x^{3} + lim_{x \to 8 x} 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8 x} x)}^{5} + 2 {(lim_{x \to 8 x} x)}^{3} + lim_{x \to 8 x} 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8 x$ annähert.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8 x} x)}^{5} + 2 {(lim_{x \to 8 x} x)}^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8 x$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8 x$ für $x$ .

$\frac{5 {(8 x)}^{5} + 2 {(lim_{x \to 8 x} x)}^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8 x$ für $x$ .

$\frac{5 {(8 x)}^{5} + 2 {(8 x)}^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Wende die Produktregel auf $8 x$ an.

$\frac{5 (8^{5} x^{5}) + 2 {(8 x)}^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 8.1.2

Potenziere $8$ mit $5$ .

$\frac{5 (32768 x^{5}) + 2 {(8 x)}^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $32768$ mit $5$ .

$\frac{163840 x^{5} + 2 {(8 x)}^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 8.1.4

Wende die Produktregel auf $8 x$ an.

$\frac{163840 x^{5} + 2 (8^{3} x^{3}) + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 8.1.5

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{163840 x^{5} + 2 (512 x^{3}) + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 8.1.6

Mutltipliziere $512$ mit $2$ .

$\frac{163840 x^{5} + 1024 x^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 8.1.7

Faktorisiere $2$ aus $163840 x^{5} + 1024 x^{3} + 6$ heraus.

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Schritt 8.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $163840 x^{5}$ heraus.

$\frac{2 (81920 x^{5}) + 1024 x^{3} + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 8.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $1024 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (81920 x^{5}) + 2 (512 x^{3}) + 6}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 8.1.7.3

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (81920 x^{5}) + 2 (512 x^{3}) + 2 (3)}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 8.1.7.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (81920 x^{5}) + 2 (512 x^{3})$ heraus.

$\frac{2 (81920 x^{5} + 512 x^{3}) + 2 (3)}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 8.1.7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (81920 x^{5} + 512 x^{3}) + 2 (3)$ heraus.

$\frac{2 (81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3)}{- 6 x^{6} + 2 x^{4}}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $2 x^{4}$ aus $- 6 x^{6} + 2 x^{4}$ heraus.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2 x^{4}$ aus $- 6 x^{6}$ heraus.

$\frac{2 (81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3)}{2 x^{4} (- 3 x^{2}) + 2 x^{4}}$

Schritt 8.2.2

Faktorisiere $2 x^{4}$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$\frac{2 (81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3)}{2 x^{4} (- 3 x^{2}) + 2 x^{4} (1)}$

Schritt 8.2.3

Faktorisiere $2 x^{4}$ aus $2 x^{4} (- 3 x^{2}) + 2 x^{4} (1)$ heraus.

$\frac{2 (81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3)}{2 x^{4} (- 3 x^{2} + 1)}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3)}{2 x^{4} (- 3 x^{2} + 1)}$

Schritt 8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3}{x^{4} (- 3 x^{2} + 1)}$

Schritt 8.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3}{x^{4} (- (3 x^{2}) + 1)}$

Schritt 8.5

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3}{x^{4} (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}$

Schritt 8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3}{x^{4} (- (3 x^{2} - 1))}$

Schritt 8.7

Schreibe $- (3 x^{2} - 1)$ als $- 1 (3 x^{2} - 1)$ um.

$\frac{81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3}{x^{4} (- 1 (3 x^{2} - 1))}$

Schritt 8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{81920 x^{5} + 512 x^{3} + 3}{x^{4} (3 x^{2} - 1)}$