Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} x + 3}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x + 3}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 + 3}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Addiere $8$ und $3$ .

$\frac{11}{\sqrt{16 x^{2} + 8 x + 1}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$\frac{11}{\sqrt{{(4 x)}^{2} + 8 x + 1}}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{11}{\sqrt{{(4 x)}^{2} + 8 x + 1^{2}}}$

Schritt 3.2.1.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 1$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{11}{\sqrt{{(4 x)}^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot 1 + 1^{2}}}$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 4 x$ und $b = 1$ .

$\frac{11}{\sqrt{{(4 x + 1)}^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{11}{4 x + 1}$