Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} x \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{8 \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Schritt 4.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{8 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} + 2 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} x + 2 x^{2}}}$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ heraus.

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} (x + 2)}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$ mit $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$ mit $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2}}$

Schritt 4.4.2

Bewege $\sqrt{x + 2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x (\sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2})}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{x + 2}$ mit $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x ({\sqrt{x + 2}}^{1} \sqrt{x + 2})}$

Schritt 4.4.4

Potenziere $\sqrt{x + 2}$ mit $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x ({\sqrt{x + 2}}^{1} {\sqrt{x + 2}}^{1})}$

Schritt 4.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {\sqrt{x + 2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {\sqrt{x + 2}}^{2}}$

Schritt 4.4.7

Schreibe ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ als $x + 2$ um.

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Schritt 4.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{1}}$

Schritt 4.4.7.5

Vereinfache.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x (x + 2)}$

Schritt 4.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{16 \sqrt{(x + 2) \cdot 2}}{x (x + 2)}$

Schritt 4.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 2$ .

$\frac{16 \sqrt{2 (x + 2)}}{x (x + 2)}$