Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} x \sin^{2} (7 x)}{\sin^{2} (11 x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin^{2} (7 x)}{\sin^{2} (11 x)}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (7 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot {(lim_{x \to 8} \sin (7 x))}^{2}}{\sin^{2} (11 x)}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 8} 7 x)}{\sin^{2} (11 x)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sin^{2} (7 lim_{x \to 8} x)}{\sin^{2} (11 x)}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 \cdot \sin^{2} (7 lim_{x \to 8} x)}{\sin^{2} (11 x)}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 \cdot \sin^{2} (7 \cdot 8)}{\sin^{2} (11 x)}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{8 \cdot (\sin^{2} (7 \cdot 8) \cdot 1)}{\sin^{2} (11 x)}$

Schritt 6.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{8 \cdot (\sin^{2} (7 \cdot 8) \cdot 1)}{\sin^{2} (11 x) \cdot 1}$

Schritt 6.3

Separiere Brüche.

$\frac{8 \cdot (1)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (7 \cdot 8)}{\sin^{2} (11 x)}$

Schritt 6.4

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (11 x)}$ nach $\csc^{2} (11 x)$ um.

$\frac{8 \cdot (1)}{1} (\sin^{2} (7 \cdot 8) \csc^{2} (11 x))$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{8}{1} (\sin^{2} (7 \cdot 8) \csc^{2} (11 x))$

Schritt 6.6

Dividiere $8$ durch $1$ .

$8 (\sin^{2} (7 \cdot 8) \csc^{2} (11 x))$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$8 (\sin^{2} (56) \csc^{2} (11 x))$

Schritt 6.8

Berechne $\sin (56)$ .

$8 ({0.82903757}^{2} \csc^{2} (11 x))$

Schritt 6.9

Potenziere $0.82903757$ mit $2$ .

$8 (0.68730329 \csc^{2} (11 x))$

Schritt 6.10

Mutltipliziere $0.68730329$ mit $8$ .

$5.49842637 \csc^{2} (11 x)$