Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \sqrt[4]{\frac{9 + x^{2}}{1 + 16 x^{2}}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{9 + x^{2}}{1 + 16 x^{2}}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $16$ durch $1$ .

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{2}} + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Schritt 3.5

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[4]{\frac{9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 16}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{0 + lim_{x \to - \infty} 16}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{0 + 16}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$\sqrt[4]{\frac{0 + 1}{0 + 16}}$

Schritt 7.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\sqrt[4]{\frac{1}{0 + 16}}$

Schritt 7.2.3

Addiere $0$ und $16$ .

$\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$

Schritt 7.2.4

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$ als $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$

Schritt 7.2.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[4]{16}}$

Schritt 7.2.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.6.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}$

Schritt 7.2.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$