Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{{(x + h)}^{2}}{h}} - \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{{(x + h)}^{2}}{h}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Schritt 2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} 1 \frac{h}{{(x + h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{h}{{(x + h)}^{2}}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{h}{{(x + h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + h)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Schritt 7

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - lim_{h \to 0} 1 \frac{h}{x^{2}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{h}{x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{h}{x^{2}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $\frac{1}{x^{2}}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} h$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} h$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{{(x + 0)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} h$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{{(x + 0)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{0}{{(x + 0)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$ .

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Schritt 10.1.1

Dividiere $0$ durch ${(x + 0)}^{2}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 10.1.2

Subtrahiere $\frac{1}{x^{2}} \cdot 0$ von $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 10.2

Multipliziere $- \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$ .

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0$