Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} (\frac{{(x + h)}^{2}}{h}) - \frac{x^{2}}{h}$

Schritt 1

Vereinige Brüche unter Anwendung eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x + h$ und $b = x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(x + h + x) (x + h - x)}{h}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Addiere $x$ und $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(h + 2 x) (x + h - x)}{h}$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(h + 2 x) (h + 0)}{h}$

Schritt 1.2.2.3

Addiere $h$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(h + 2 x) h}{h}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{h \to 0} \frac{(h + 2 x) h}{h}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $h + 2 x$ durch $1$ .

$lim_{h \to 0} h + 2 x$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert von $2 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} h + 2 x$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$0 + 2 x$

Schritt 4

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$