Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π}{3} + h) - \sqrt{3}}{h}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $h$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π}{3} + h \cdot \frac{3}{3}) - \sqrt{3}}{h}$

Schritt 1.2

Kombiniere $h$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π}{3} + \frac{h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}}{h}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}}{h}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} \frac{π + h \cdot 3}{3}) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.3

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{\tan (\frac{1}{3} lim_{h \to 0} π + h \cdot 3) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} h \cdot 3)) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + lim_{h \to 0} h \cdot 3)) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + 3 lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.7

Berechne den Grenzwert von $\sqrt{3}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + 3 lim_{h \to 0} h)) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0)) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + 0)) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} π) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $π$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3.1.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $\sqrt{3}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3})] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3})] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3})]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + 3 \cdot h}{3})] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = \tan (h)$ und $g (h) = \frac{π + 3 h}{3}$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π + 3 h}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d h} [\frac{π + 3 h}{3}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) \frac{d}{d h} [\frac{π + 3 h}{3}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π + 3 h}{3}$ nach $h$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d h} [π + 3 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d h} [π + 3 h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $π + 3 h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [3 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [3 h])) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.5

Da $π$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (0 + \frac{d}{d h} [3 h])) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.6

Da $3$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $3 h$ nach $h$ gleich $3 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (0 + 3 \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (0 + 3 \cdot 1)) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (0 + 3)) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.9

Addiere $0$ und $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 3) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.10

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) \frac{3}{3} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) \frac{3}{3} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.11.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3.12

Mutltipliziere $\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3})$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4

Da $- \sqrt{3}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- \sqrt{3}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3})$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe $\sec (\frac{π + 3 h}{3})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{\cos (\frac{π + 3 h}{3})})}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.5.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (\frac{π + 3 h}{3})}$ an.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.5.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}}{1}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})} \cdot 1$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}$

Schritt 3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} \cos (\frac{π + 3 h}{3}))}^{2}}$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} \frac{π + 3 h}{3})}$

Schritt 3.5

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} lim_{h \to 0} π + 3 h)}$

Schritt 3.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} 3 h))}$

Schritt 3.7

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + lim_{h \to 0} 3 h))}$

Schritt 3.8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 lim_{h \to 0} h))}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))}$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))}$ als ${(\frac{1}{\cos (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\cos (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))})}^{2}$

Schritt 5.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))}$ nach $\sec (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))$ um.

$\sec^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{3} (π + 0))$

Schritt 5.5

Addiere $π$ und $0$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{3} π)$

Schritt 5.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $π$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 5.7

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$2^{2}$

Schritt 5.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4$