Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} ({(a + h)}^{2} - 3 (a + h) + 3) - {(a)}^{2} + 3 (a) - 3$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} {(a + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 (a + h) + lim_{h \to 0} 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(a + h)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{h \to 0} a + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 (a + h) + lim_{h \to 0} 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

${(lim_{h \to 0} a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 (a + h) + lim_{h \to 0} 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 (a + h) + lim_{h \to 0} 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 lim_{h \to 0} a + h + lim_{h \to 0} 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 (lim_{h \to 0} a + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 (a + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 (a + lim_{h \to 0} h) + 3 - lim_{h \to 0} {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von ${(a)}^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 (a + lim_{h \to 0} h) + 3 - {(a)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $3 (a)$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 (a + lim_{h \to 0} h) + 3 - {(a)}^{2} + 3 (a) - lim_{h \to 0} 3$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

${(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 (a + lim_{h \to 0} h) + 3 - {(a)}^{2} + 3 (a) - 1 \cdot 3$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

${(a + 0)}^{2} - 3 (a + lim_{h \to 0} h) + 3 - {(a)}^{2} + 3 (a) - 1 \cdot 3$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

${(a + 0)}^{2} - 3 (a + 0) + 3 - {(a)}^{2} + 3 (a) - 1 \cdot 3$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${(a + 0)}^{2} - 3 (a + 0) + 3 - {(a)}^{2} + 3 (a) - 1 \cdot 3$ .

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Schritt 13.1.1

Addiere $a$ und $0$ .

$a^{2} - 3 (a + 0) + 3 - {(a)}^{2} + 3 (a) - 1 \cdot 3$

Schritt 13.1.2

Addiere $a$ und $0$ .

$a^{2} - 3 a + 3 - {(a)}^{2} + 3 (a) - 1 \cdot 3$

Schritt 13.1.3

Addiere $- 3 a$ und $3 (a)$ .

$a^{2} + 3 - {(a)}^{2} + 0 - 1 \cdot 3$

Schritt 13.1.4

Addiere $a^{2} + 3 - {(a)}^{2}$ und $0$ .

$a^{2} + 3 - {(a)}^{2} - 1 \cdot 3$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$a^{2} + 3 - a^{2} - 3$

Schritt 13.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a^{2} + 3 - a^{2} - 3$ .

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Schritt 13.3.1

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$0 + 3 - 3$

Schritt 13.3.2

Addiere $0$ und $3$ .

$3 - 3$

Schritt 13.3.3

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$0$