Analysis Beispiele

${(x + 2)}^{2} (x - 1)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2) (x - 1)]$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 2) + 2 (x + 2)) (x - 1)]$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (x - 1)]$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 1)]$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 1)]$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 1)]$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (x - 1)]$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 4 x + 4) (x - 1)]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 4 x + 4$ und $g (x) = x - 1$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Schritt 1.1.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Schritt 1.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Schritt 1.1.5.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Schritt 1.1.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Schritt 1.1.5.4.2

Mutltipliziere $x^{2} + 4 x + 4$ mit $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Schritt 1.1.5.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 1.1.5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 1.1.5.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 1.1.5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 1.1.5.9

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 1.1.5.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 + 0)$

Schritt 1.1.5.11

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4)$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 4$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 4 x + 4 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 4$

Schritt 1.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 4 x + 4 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.1.6.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.6.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.1.6.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.1.6.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.1.6.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.1.6.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.1.6.4.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 2 x + 4 \cdot x - 1 \cdot 4$

Schritt 1.1.6.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 2 x + 4 x - 4$

Schritt 1.1.6.4.8

Addiere $- 2 x$ und $4 x$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} + 2 x - 4$

Schritt 1.1.6.4.9

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 4 x + 4 + 2 x - 4$

Schritt 1.1.6.4.10

Addiere $4 x$ und $2 x$ .

$3 x^{2} + 6 x + 4 - 4$

Schritt 1.1.6.4.11

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$3 x^{2} + 6 x + 0$

Schritt 1.1.6.4.12

Addiere $3 x^{2} + 6 x$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} + 6 x$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} + 6 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 x (x) + 6 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $3 x$ aus $6 x$ heraus.

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x) + 3 x (2)$ heraus.

$3 x (x + 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 x (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte ${(x + 2)}^{2} (x - 1)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${((0) + 2)}^{2} ((0) - 1)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Addiere $0$ und $2$ .

$2^{2} ((0) - 1)$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 ((0) - 1)$

Schritt 4.1.2.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$4 \cdot - 1$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${((- 2) + 2)}^{2} ((- 2) - 1)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0^{2} ((- 2) - 1)$

Schritt 4.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 ((- 2) - 1)$

Schritt 4.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$0 \cdot - 3$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 3$ .

$0$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, - 4), (- 2, 0)$

Schritt 5