Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} (\frac{n}{2 π}) \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$lim_{n \to 8} \frac{n}{2 π} \cdot lim_{n \to 8} \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{2 π}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (lim_{n \to 8} \frac{2 π}{n}) = 1$

Schritt 4

Ziehe den Term $2 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π lim_{n \to 8} \frac{1}{n}) = 1$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π \frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π \frac{1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{1}{2 (π)} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{2 (π)} \cdot (2 (4)) \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Schritt 8.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} \cdot (2 \cdot 4) \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Schritt 8.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} \cdot 4 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $4$ .

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 (π) \frac{1}{8}) = 1$

Schritt 8.3.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 (π) \frac{1}{2 (4)}) = 1$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 π \frac{1}{2 \cdot 4}) = 1$

Schritt 8.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{π} \cdot \sin (π \frac{1}{4}) = 1$

Schritt 8.4

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \sin (\frac{π}{4}) = 1$

Schritt 8.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

Schritt 8.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

Schritt 8.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

Schritt 8.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{π} \cdot \sqrt{2} = 1$

Schritt 8.7

Kombiniere $\frac{2}{π}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{π} = 1$