Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} (3^{\sin (n \cdot π)} - 1) \cdot \ln (n^{2} + 2)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$lim_{n \to 8} 3^{\sin (n \cdot π)} - 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$(lim_{n \to 8} 3^{\sin (n \cdot π)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$(3^{lim_{n \to 8} \sin (n \cdot π)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$(3^{\sin (lim_{n \to 8} n \cdot π)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Schritt 5

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n^{2} + 2)$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 2)$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $n^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 2)$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2)$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$(3^{\sin (π \cdot 8)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2)$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$(3^{\sin (π \cdot 8)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $π$ .

$(3^{\sin (8 \cdot π)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$(3^{\sin (0)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Schritt 12.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$(3^{0} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Schritt 12.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Schritt 12.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 - 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Schritt 12.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Schritt 12.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$0 \cdot \ln (64 + 2)$

Schritt 12.4

Addiere $64$ und $2$ .

$0 \cdot \ln (66)$

Schritt 12.5

Mutltipliziere $0$ mit $\ln (66)$ .

$0$