Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{1}{\sqrt[5]{n}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \sqrt[5]{n}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} \sqrt[5]{n}}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{\sqrt[5]{lim_{n \to 8} n}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{1}{\sqrt[5]{8}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[5]{8}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$\frac{1}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Schritt 3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[5]{8}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $\sqrt[5]{8}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Schritt 3.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Schritt 3.2.4

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Schritt 3.2.5

Schreibe ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ als $8$ um.

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Schritt 3.2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{8}$ als $8^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Schritt 3.2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 3.2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 3.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 3.2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Schritt 3.2.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Schreibe ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ als $\sqrt[5]{8^{4}}$ um.

$\frac{\sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt[5]{4096}}{8}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $4096$ als $4^{5} \cdot 4$ um.

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $1024$ aus $4096$ heraus.

$\frac{\sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Schritt 3.3.3.2

Schreibe $1024$ als $4^{5}$ um.

$\frac{\sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Schritt 3.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt[5]{4}$ heraus.

$\frac{4 (\sqrt[5]{4})}{8}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \sqrt[5]{4}}{4 \cdot 2}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt[5]{4}}{4 \cdot 2}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[5]{4}}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt[5]{4}}{2}$

Dezimalform:

$0.65975395 \dots$