Analysis Beispiele

$lim_{t \to 6} {(\sqrt{t^{2} + 3 t - 2})}^{3}$

Schritt 1

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(\sqrt{t^{2} + 3 t - 2})}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{t \to 6} \sqrt{t^{2} + 3 t - 2})}^{3}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

${\sqrt{lim_{t \to 6} t^{2} + 3 t - 2}}^{3}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $6$ annähert.

${\sqrt{lim_{t \to 6} t^{2} + lim_{t \to 6} 3 t - lim_{t \to 6} 2}}^{3}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $t^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${\sqrt{{(lim_{t \to 6} t)}^{2} + lim_{t \to 6} 3 t - lim_{t \to 6} 2}}^{3}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

${\sqrt{{(lim_{t \to 6} t)}^{2} + 3 lim_{t \to 6} t - lim_{t \to 6} 2}}^{3}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $6$ annähert.

${\sqrt{{(lim_{t \to 6} t)}^{2} + 3 lim_{t \to 6} t - 1 \cdot 2}}^{3}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $6$ für alle $t$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $6$ für $t$ .

${\sqrt{6^{2} + 3 lim_{t \to 6} t - 1 \cdot 2}}^{3}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $6$ für $t$ .

${\sqrt{6^{2} + 3 \cdot 6 - 1 \cdot 2}}^{3}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

${\sqrt{36 + 3 \cdot 6 - 1 \cdot 2}}^{3}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

${\sqrt{36 + 18 - 1 \cdot 2}}^{3}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

${\sqrt{36 + 18 - 2}}^{3}$

Schritt 8.4

Addiere $36$ und $18$ .

${\sqrt{54 - 2}}^{3}$

Schritt 8.5

Subtrahiere $2$ von $54$ .

${\sqrt{52}}^{3}$

Schritt 8.6

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 8.6.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

${\sqrt{4 (13)}}^{3}$

Schritt 8.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${\sqrt{2^{2} \cdot 13}}^{3}$

Schritt 8.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

${(2 \sqrt{13})}^{3}$

Schritt 8.8

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{13}$ an.

$2^{3} {\sqrt{13}}^{3}$

Schritt 8.9

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 {\sqrt{13}}^{3}$

Schritt 8.10

Schreibe ${\sqrt{13}}^{3}$ als $\sqrt{13^{3}}$ um.

$8 \sqrt{13^{3}}$

Schritt 8.11

Potenziere $13$ mit $3$ .

$8 \sqrt{2197}$

Schritt 8.12

Schreibe $2197$ als $13^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 8.12.1

Faktorisiere $169$ aus $2197$ heraus.

$8 \sqrt{169 (13)}$

Schritt 8.12.2

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$8 \sqrt{13^{2} \cdot 13}$

Schritt 8.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$8 (13 \sqrt{13})$

Schritt 8.14

Mutltipliziere $13$ mit $8$ .

$104 \sqrt{13}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$104 \sqrt{13}$

Dezimalform:

$374.97733264 \dots$